曼海姆定理（曼海姆定理中等数学）

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初中数学几何解证明题的特殊定理

1。同角（或等角）的余角相等。

3。对顶角相等。

5。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

6。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

7。同位角相等，两直线平行。

12。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

16。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

19。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

21。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

22。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

24。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

25。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

27。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

34。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

36。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

43。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

46。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

37．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

47。切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

48。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。 ②圆的切线垂直于经过切点的半径。 ③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

49。切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

50。弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

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31.曼海姆定理

曼海姆定理中使用了一种特殊的圆，有人称其“伪旁切圆”.为什么叫伪旁切圆呢？因为，正宗的旁切圆要切三角形的三边所在的直线，如同内切圆那样做.而曼海姆定理中用的到的一个圆，切三角形的两边所在的直线以及三角形的外接圆.正是这一个特殊的圆带来了很不寻常的性质.

先证明这个内切的情形.

如图，一圆内切三角形ABC的外接圆于点D,分别切AB，AC于点E,F.求证：EF的中点K是三角形ABC的内心.

伪旁切圆和外接圆位似，切点D是位似中心.

DEF和DE'F'这两个三角形位似.如果取伪旁切圆的圆心O，和外接圆的圆心O'，那么，对应的OF//O'F',OE//O'E'，（图中未作图）.

因为AC垂直于OF，O'F'//OF,所以AC垂直于O'F'.根据垂径定理，可知F'平分弧AF'C.同理，E'平分弧AE'B.

连接BF'，CE'则它们分别是角B和角C的平分线.那么，这两线的交点是三角形ABC的内心，设为I，

根据Pascal定理，可知，EIF三点公线，即点I在直线EF上.

那么，I是内心，I就在角A的平分线上.而切线 AE=AF，三角形AEF是等腰三角形，所以，点I就与EF的中点K重合.因此EF的中点K，是三角形ABC的内心.

内切这种情况在考试中经常出现.但由于Pascal定理初中教科书没有要求，所以，题目中常常有明确的提示，给出一个位似圆，使得Pascal定理容易证明.或者改变命题方式，简化证明.

这种情况下有平行线，就算教科书对位似没有讲解，利用平行和圆周角定理、弦切角定理也可以证明.

而外切的情况，相对复杂些.虽然同样也是位似，但是是反方向的，就是逆位似.观察起来略费劲些.

但实际上，一般的，关于内心有一个定理，关于旁心也会有个类似的定理.曼海姆定理也如此.

当两圆外切的时候，EF的中点就是三角形的旁心.

外切的时候，如果不利用位似，那么证明平行需要利用圆周角，弦切角，对顶角过渡，最终用内错角.E'是优弧AE'B的中点，它包含的圆周角是C，那么，它对的圆周角就是C的补角.它的一半，弧AE'所对的圆周角就是C的补角的一半，故CE'平分外角.

同理BF'平分另一个外角.

如上，证明旁心在直线EF上，且重合在点K上.

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求曼海姆定理的初中平面几何证明。 曼海姆(Mannheim)定理一圆切△ABC的两边AB、AC及外接圆于点P、Q、T.则P

当两圆内切时， 过D作两圆公切线DE,设PQ中点为I，连结AD,ID,OD,IC,OQ,AO(与PQ交于I),CD,DQ。 可证得∠CDQ=∠ADQ=1/2∠ADC=1/2∠B,∠AQP=∠IDC,三角形AOD∽三角形DOI, 则IDCQ共圆，∠ODI=∠OAD,∠IDC=∠ODE-∠CDE-∠ODI=90°-(∠CAD+∠OAD)=∠AQP=1/2(180°-∠BAC)=1/2(∠B+∠ACB) ∠ICQ=∠IDQ=∠IDC-∠CDQ=1/2(∠B+∠ACB)-1/2∠B=1/2∠ACB 命题得证。 当两圆外切时，类似可证。

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